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2018-08

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中1/空間図形(6)立体の体積[2]

【 錘体の体積 】(続き)
錐体の体積がなぜ1/3かを感覚的に納得する方法の続きです。

2.立方体を3等分する
立方体を下の図のように3等分する方法です。3つの三角錘は大きさも形も同じです。
立方体の3等分

この三角錐の展開図は以下のとおりです。
立方体を3等分した三角錐の展開図
数字は、中央の正方形の一辺の長さを1としたものです。この正方形の一辺をたとえば5cmにするのであれば、すべての数字を5倍にしてください。以下に大きな展開図も載せておきますので、ケント紙などに印刷して利用してください。

● 立方体を3つに分割する三角錐の展開図

下は、この三角錐を組み立てたものです。

立方体を3つに分割した三角錐

これらを組み合わせると、下のようになります。

組み合わせた立方体

三角錐がすべて合同でその点は分かりやすいのですが、教科書にある三角錐と違って、斜めに傾いたような形になります。また立方体6等分と同じく、他の柱体には当てはまりません。

3.三角柱を3等分する
三角錐の3等分
三角柱を、右の図のように3つの三角錐に分割することができます。三角柱はどのような長さでもかまいません。正三角柱であれば、たとえば次のようになります。
AB=BC=CA=DE=EF=FD=3cm
AD=BE=CF=4cm
AE=AF=BF=5cm

これを実際に作ったのが、以下の写真です。

3つの三角錐

組み立てると次のようになります。

3つの三角錐を組み合わせた三角柱

三角錐の形は同じではありませんが、平面と高さが同じ三角錐が2組あります。たとえば上の図では、三角錐EDA-Fと三角錐ABE-Fが、△ADE≡△EBAで底面が合同、頂点Fが共通なため高さが同じです。よってこの2つの三角錐の体積は等しいといえます。また三角錐BEF-Aと三角錐FCB-Aが、△BEF≡△FCBで底面が合同、頂点Aが共通なため高さが同じです。よってこの2つの三角錐の体積も等しいといえます。三角錐ABE-Fと三角錐BEF-Aは同じものですから、3つの三角錐の体積は等しいといえます。

各三角形を厚紙に書いて切り抜き、張り合わせれば上の写真のような立体が作れます。自信のある人は、各三角錐の展開図を考えてみてください。

三角柱の底面は正三角形でなくてもかまいません。たとえば次のような長さでも作れます。
AB=DE=4cm
BC=EF=3cm
AC=DF=5cm
AD=BE=CF=6cm
AE=7.211cm
AF=7.810cm
BF=6.708cm

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