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2019-07

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中1/空間図形(5)立体の体積[1]

【 柱体の体積 】
直方体の体積の求め方は小学校で習いました。

〈直方体の体積〉=〈底面の縦〉×〈底面の横〉×〈立体の高さ〉

〈底面の縦〉×〈底面の横〉底面積になります。よって直方体、すなわち四角柱の体積を求める式は次のように書き直せます。

〈四角柱の体積〉=〈底面積〉×〈立体の高さ〉

四角柱を底面の対角線にそって縦に切断し、ならべかえれば三角柱になります。よって三角柱の体積も、〈底面積〉×〈立体の高さ〉で求められます。

柱体を底面の側から見た図

同様に考えていくと、円柱を含め、柱体の体積はすべて以下の式で求められると分かります。

〈柱体の体積〉=〈底面積〉×〈高さ〉

【 錐体の体積 】
錐体の体積は、以下の式で求められます。

錐体の体積

錐体の体積は、同じ底面と高さの柱体に比べ、ちょうど1/3になります。なぜ1/3かをきちんと説明するには、高校で習う積分を使わねばなりません。中1の段階では無理ですので、代わりに感覚的に納得する方法がいくつか考案されています。

1.立方体を6等分する
立方体の6等分

上図左の立方体を赤い線で示したように6等分すると、それぞれ上図右のような正四角錘になります。立方体の1辺を例えば6cmとすると、体積は次のようになります。

● 上図左の立方体(1辺6cm)
 → 6×6×6=216(cm2
● 上図右の正四角錘(底辺1辺6cm、高さ3cm)
 → 216÷6(個)=36(cm2
● 上図右の正四角錘と底辺・高さが同じ正四角柱
  (底辺1辺6cm、高さ3cm)
 → 6×6×3=108(cm2

108÷36=3ですから、上図右の正四角錘の体積は、底辺・高さが同じ正四角柱の体積のちょうど1/3と分かります。練習として、立方体の1辺をaとして、文字式でも同様にいえるのか試してください。

上図のような正四角錘以外は、この方法では直接説明できません。他の錐体については、「上図のような立体で成り立つのならば、他の錐体でも成り立つはず」と類推でカバーしなければなりません。
(続く)

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