分数のわり算で、わる数を逆数にするとなぜかけ算になるのでしょうか。
そもそも、「逆数」とはいったい何なのでしょうか。

１番目の疑問を、数式の操作で説明することはそれほど難しくありません。


しかし、中学生以下でこう説明されて「分かった」と思う子は少ないでしょう。
それに２番目の疑問に全く答えていません。
もう少し感覚的に把握しやすい方法、言いかえれば、小６以上に丁寧に説明すれば、何とか理解してもらえそうな方法は無いのでしょうか。

逆数の前に、まずわり算の意味を考えてみましょう。
わり算の式にはいくつかの意味がありますが、ここでは「１あたりを求める式」として考えます。

（全体の量）÷（いくつ分）＝（１あたりの量）

この意味に沿う具体的な例として、次の問題を考えます。


図に表すと次のようになります。

１m² あたりの水の量（図の濃い水色の部分）を求める式は、

となります。
水全体の量を面積（この場合はm²）でわると、「１m²あたりの水の量」が求められるからです。

次に花だん全体の割合を１とします。すると、花だん１m² の花だん全体に対する割合は、7分の4（倍）となります。
花だん１m² が花だん全体の7分の4（倍）なら、その上にまく水（図の濃い水色の部分）も、水全体の量 5リットル（水全体）の7分の4（倍）となります。
よって、と計算すれば、１m²にまくの水の量が求められます。

ここで少し整理してみましょう。

「１」が１m² を意味するのなら、これをもとにして測った花だん全体の広さは7/4m² となります。「いくつ分」にあたる 7/4m² で水全体の量をわれば、１m² あたりの水の量が求められることになります。

一方、花だん全体を「１」とすると、それに対する１m²の割合は 4/7 となります。水全体の 4/7（倍）が１m² あたりの水の量ですから、水全体の量に 4/7（倍）をかければ、１m² あたりの水の量が求められます。

つまり、わり算とかけ算では「何を１とするか」が異なり、式の意味が変化しているのです。
わり算では「単位あたりの量」を求めているのに対し、かけ算は全体を１として割合の計算をしています。逆数は割合であり、そのため単位がつきません。

わり算記号の右側の数字……単位量を１として、全体を表す
かけ算記号の右側の数字……全体を１として、単位量の割合を表す
逆数……全体を１とする時の、単位量の割合


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「全体を１とする割合」の意味がきちんと理解できていない段階で、下手に逆数の意味をあつかうと、子供が混乱するだけで終わりがちです。少なくとも思いつきで指導するのは避け、ましょう。しっかり準備し、好機を得て教えてください。

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