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2019-07

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中1/正比例と反比例(2)正比例

正比例とは(続き)

正比例のイメージを図で表すと、次のようになります。


これをもとに、次の問題を考えてみましょう。

【例題】 y は χ に比例し、χ=5 のとき、y=-14である。y を χ の式で表しなさい。

上の関係を図に表すと、次のようになります。


比例の一般的な式 y=aχ に代入すると、-14=5a という式が得られます。この式から a の値を求め、yをχの式で表します。


関数の計算では、その関数の一般式に数値を代入して、方程式として解くという手法がよく使われます。比例も同様で、比例定数 a を求めるのなら、一般式 y=aχ の a 以外の文字に数値を代入して a の値を求めます。

(注意)「値」とはある文字に当てはまる数量のことです。「値を求めよ」とあったら、解答らんには数字だけを書きます。例えば a の値が3と答えるときに、「3a」と書く間違いをよく見かけますので注意してください。

【比例かどうかを問う問題の考え方】
2種類の数量が比例がどうかは、次の2点について調べてください。

• χ が0のとき、yも0か?
• χ が2倍、3倍、4倍……と変わるとき、y も2倍、3倍、4倍……と変わるか?

「70cmのリボンから χ cmを切り取った残りの長さ y cm」の場合、χ が0のとき y は0 ではありませんから、比例していません。問題の多くは、「χ が0のとき、yも0か?」だけでも判断が可能です。反比例(後でふれます)の場合、そもそも「χ が0」にはなれません。
ただし、「一辺が χ cmのときの正方形の面積 y cm2」なら、χ が0のとき y は0になります。しかし2番目の条件に当てはまりませんから、比例ではありません。

変域

【例題】210 ℓ はいる水そうに、毎分6 ℓ の割合で水をいれます。水を入れ始めてから χ 分後の水の量を y ℓ とするとき、y を χ の式で表しなさい。

比例の式は、y=6χ となります。しかしこの関係は、χ がどんな値(-5万、700など)でも成立するわけではありません。0分より以前は関係ありませんし、210÷6=35分を超えると、水そうから水があふれてそれ以上増えません。現実の例では、ほとんどにχ、y がとりうる最小値、題大値が存在します。

変数(χ、y など)がとりうる値の範囲を、変域といいます。
【例題】のχ の変域は、0以上35以下です。
これを記号で書くと、次のようになります。
  0≦ χ ≦35

変域について、次のように表します。
• χ が-5より大きく20より小さい[20未満](-5、20を含まない)。
  -5< χ <20

• χ が-5以上20以下(-5、20を含む)。
  -5≦ χ ≦20


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